Принцип решения такой
lim (x->0) ln (1 - cos /ln tg x = lim (x->0) (ln (1 - cos )'/(ln tg ' =
= lim (x->0) (sin x/(1 - cos )/(1/cos^2 x * 1/tg =
= lim (x->0) (sin x/(1 - cos )/(1/(sin x * cos ) =
= lim (x->0) (sin^2 x * cos /(1 - cos = cos 0 * lim (x->0) sin^2 x/(1 - cos =
= lim (x->0) sin^2 x/(1 - (1 - 2 * sin^2 (x/2))) =
= lim (x->0) sin^2 x/(2 * sin^2 (x/2)) = lim (x->0) x^2/(2 * (x/2)^2) = lim (x->0) x^2/(x^2/2) = 2.

Но в примере ошибка в sin 1/x так как x->0