в мобильной версии кнопка поиска ушла под два пункта меню вправо. Может все в один ряд разместить, вместе с меню

Чтобы остановить событие переход по ссылке , нужно повесить на нее событие click
и при переходе сделать e.preventDefault.
Можно ли работать с кукам со стороны js не знаю , хотя вот статья, видимо можно https://learn.javascript.ru/cookie . Но можно отправить ajax запрос на php скрипт в котором просто сделать setcoockie - см. описание функции http://php.net/manual/ru/function.setcookie.php она может как создать , так и удалить куки

Замечание модератора: Эта тема была закрыта автоматически ввиду отсутствия активности в ней на протяжении 100+ дней. Если Вы считаете ее актуальной и хотите оставить сообщение, то воспользуйтесь кнопкой или обратитесь к любому из модераторов.